数量关系：快速搞定不定方程

不定方程是指未知数的个数多于独立方程个数的一类方程。一般形式为：ax+by=c，其中，ab≠0,且a，b，c均为正整数。一般题目中会规定关于x、y的取值条件，从而确定其取值。

不定方程在数量关系的考查中一直是很重要的题型之一，国考及联考常有涉及，尤其在国考中考查的频率较高。不定方程的考查方式比较固定，规律性强，在数量关系中反而是容易掌握的一种题型。那我们今天来一起了解不定方程的几种常见的解题方法：

1.代入排除

在行测考试中，数量关系均为客观题，每道题目都有对应的四个选项，在没有其它思路的情况下，最快解不定方程的方法就是根据题意列好方程后，结合选项依次进行代入验证，找到唯一符合题干条件的选项，即为正确答案。具体运用如下题：

【例】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为多少个：

A.1、6

B.2、4

C.3、2

D.4、1

【分析】第一步，本题考查不定方程问题，用代入排除法解题。

第二步，设红、蓝文件袋数量分别为x、y，由恰好装满，可得7x+4y=29。可依次代入选项：

A选项，7×1+4×6≠29，排除;

B选项，7×2+4×4≠29，排除;

C选项，7×3+4×2=29，符合题意。

因此，选择C选项。

2.奇偶性

奇偶性是解不定方程很常见的方法。即结合式子中已知量的奇偶性来推导式子中未知数的奇偶性。但是在用好奇偶性解题之前要熟悉奇偶的性质：

(1)偶数±偶数=偶数;奇数±奇数=偶数;偶数±奇数=奇数

性质1：任意两个数性质相同(同奇或同偶)，则这两个数两个数的和(差)一定为偶数;任意两个数性质相反(一奇一偶)，则这两个数两个数的和(差)一定为奇数。逆推则

为奇反偶同。

偶数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数;偶数×奇数=偶数

性质2：任意两个数相乘，若可以确定其中一个数为偶数，那么这两个数的乘积一定为偶数。反之，任意两个奇数相乘，乘积一定为奇数，即有偶则偶。

结合以上的奇偶性质，在不定方程一般式中的ax，by，c三个量中，若已知ax和c或者已知by和c的奇偶性，则可推导剩余量的奇偶性，进一步确定x或y的取值。具体运用如下题：

【例】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A.36

B.37

C.39

D.41

【分析】第一步，本题考查不定方程问题。

第二步，设每名钢琴、拉丁舞老师分别带领学员x、y人，由共76人，可列不定方程5x+6y=76。根据奇偶特性，其中6y、76为偶数，则5x为偶数，故x既为偶数也为质数，2是唯一的偶质数，所以x=2，y=11，即每名钢琴老师带2名学员，每名拉丁舞老师带11名学员。

第三步，由所带学生数不变可得，剩余学员有4×2+3×11=41(人)。

因此，选择D选项。

3.尾数法

在不定方程ax+by=c中，当未知数(x,y)前面的系数以0或者5结尾时，可以考虑用尾数法来解不定方程。因为任何正整数与5的乘积其尾数只有0或5两种可能(其中5与偶数的乘积尾数为0，5与奇数的乘积尾数为5)，任何正整数与0的乘积其尾数只能为0。基于这样的规律，我们就可以通过确定的尾数来判断未知数的取值。尾数法在解不定方程中使用频率较低，常常与奇偶性结合起来使用。具体运用如下题：

【例】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

A.3

B.4

C.7

D.13

【分析】第一步，本题考查基础应用题，用不定方程解题。

第二步，设大、小包装盒各有x、y个，由大盒每个装12个、小盒每个装5个，可知12x+5y=99。根据奇偶特性，其中12x为偶数、99为奇数，故5y为奇数，可得y为奇数，所以，其尾数为5。此时12x尾数为9-5=4，可得x=2或x=7。

第三步，代入验证，当x=2时，y=15，符合共十多个盒子，此时15-2=13;当x=7时，y=3，不符合共十多个盒子(刚好十个)。故两种包装盒相差13个。

因此，选择D选项。

4.倍数(整除)法

倍数法是解不定方程较常用的方法。即通过观察不定方程ax+by=c中，ax或by与c之间是否有共同的公约数(或共同被某个非1的整数整除)，从而判断x或y含某个因数来确定取值。例如，ax+by=c中，若ax为5的倍数且c也为5的倍数，那么就可确定by也为5的倍数，当b不是5的倍数时，则y为5的倍数，则y的取值可为5，10，15，20……;具体运用如下题：

【例】高校的科研经费按来源分为纵向科研经费和横向科研经费，某高校机械学院2015年前4个月的纵向科研经费和横向科研经费的数字从小到大排列为20、26、27、28、31、38、44和50万元。如果前4个月纵向科研经费是前3个月横向科研经费的2倍，则该校机械学院2015年第4个月的横向科研经费是多少万元?

A.26

B.27

C.28

D.31

【分析】第一步，本题考查不定方程问题。

第二步，设前3个月横向科研经费为x，第4个月横向科研经费为y，则前4个月纵向科研经费为2x。根据题意可得，x+y+2x=20+26+27+28+31+38+44+50，化简为3x+y=264。由于3x与264皆为3的倍数，故y必为3的倍数，结合选项，只有27符合。

因此，选择B选项。

以上就是本期向大家介绍的解普通不定方程的4个方法。希望大家在理解的基础上能够进一步熟练应用。后续还有关于不定方程组求解的方法继续给大家分享。希望大家登录我们官网查看学习!

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